Autoras/es: Jenny Oviedo[1], Zayra Méndez[2]
En este artículo se amplían y comentan ciertas ideas de cómo orientar la enseñanza de las matemáticas fundamentada en la solución de problemas que reúnan ciertas características. Estas ideas se basan en las teorías constructivistas del aprendizaje y están dando origen a una nueva metodología de la enseñanza de las matemáticas.
- Pedagogía Tradicional
- Pedagogías Constructivas
- La solución de problemas en la Enseñanza de la Matemática
- Implementación de la metodología
INTRODUCCIÓN
Todo sistema pedagógico se apoya o fundamenta, consciente o inconscientemente, en ciertos principios filosóficos y en una determinada teoría epistemológica, es decir, en una teoría que explica cómo se adquiere el conocimiento. Sin embargo, este hecho no es muy conocido por los profesores de secundaria de nuestro país, tal como se deduce del diagnóstico del IIMEC (1986).
En este diagnóstico, como resultado del análisis de una encuesta realizada entre los profesores que imparten matemática, español y ciencias, se concluye:
"Con respecto a los fundamentos filosóficos, psicológicos y pedagógicos que orientan la enseñanza de estas asignaturas, se nanifiesta gran dispersión de criterios que sugieren falta de homogeneidad y concepciones ambiguas o contradictorias. Además, porcentajes considerables que se abstienen de responder, o bien que expresan que no hay fundamentos o que los desconocen, reflejan la inexistencia de concepciones claras. Esta circunstancia parece indicar la carencia de una fundamentación teórico-práctica claramente definida que oriente a los que forman educadores, a quienes toman decisiones curriculares y a los docentes en su quehacer educativo". Esta carencia de bases pedagogías fuertes entre los educadores del país, puesta de manifiesto en el diagnóstico del IIMEC, es uno de los factores, que creemos, incide en la crítica situación de la enseñanza de la matemática, comentada en el artículo de las autoras sobre el "Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática" (en prensa). Por ello, consideramos que una de las acciones necesarias a realizar para este mejoramiento es una labor de divulgación entre los profesores de matemáticas de nuestro país, de las nuevas ideas y metodologías que faciliten la enseñanza y el aprendizaje de esta asignatura.
Estamos de acuerdo con Ordoñez (1983) en que parte del quehacer educativo debe consistir, en "adaptar creaciones de otros pueblos, perfeccionar dichas creaciones de acuerdo con nuestras necesidades particulares y dar a conocer esas creaciones...", Pero, debe quedar claro que, la tarea de los educadores no se debe reducir a una simple imitación, repetición y adaptación, sino que: "La tarea centra! de la educación como disciplina pedagógica consiste en producir y reproducir educación más que en repetir la educación de otros pueblos, en ser más creadores que repetidores."
En esta parte del quehacer educativo, es importante además, tomar en cuenta lo que afirma Moreno (1983): "Innovar en educación no puede consistir, en modo alguno, en resucitar lo que hace cincuenta años era nuevo y que por circunstancias históricas no pudo evolucionar, sino incorporar a los trabajos de hoy lo que nos aporta la ciencia de nuestros días."
Reflexiones semejantes a las expresadas en ios párrafos anteriores, han conducido a las autoras, a abogar porque otra de las acciones a realizar por los interesados en el mejoramiento de la enseñanza de la matemática, sea el de propiciar y efectuar investigaciones psicogenéticas, que le permitan al educador conocer cómo los alumnos comprenden y asimilan los diferentes contenidos matemáticos.
Investigaciones realizadas bajo un marco teórico constructivista, algunas en forma conjunta con investigadores colombianos y españoles (en particular, el proyecto "Patrones de Solución en Problemas Multiplicativos Simples en Niños de 7 a 12 Años"), nos han permitido deducir algunas implicaciones pedagógicas en la enseñanza de las matemáticas (Ver Oviedo y Méndez, 1991), que mencionaremos aquí más adelante. El objetivo principal de este trabajo, es dar a conocer cieñas ideas que se están implemenlando en el ámbito de la enseñanza de la matemática, resultado de muchos años de trabajo de investigadores de diferentes latitudes geográficas que eremos serán útiles para mejorar la enseñanza de la matemática, asignatura fundamental en el desarrollo científico y tecnológico de nuestros países.
Aunque no existe una fundamentación teórico-práclica claramente definida que oriente a los docentes, sabemos que. la metodología más generalizada en nuestro medio ambiente para enseñar matemática es la expositiva:
"Alguien que sabe, el maestro, transmite elementos del conocimiento a sus alumnos. El maestro organiza la lección, en general sobre un modelo de "lección tipo" que otros han preparado para él. El alumno debe escuchar atentamente. Su actividad se reduce a una especie de absorción. Es considerado incapaz de buscar por sí mismo el saber, de organizar, de estructurar él mismo los conocimientos queadquirirá. Toda búsqueda de parte del alumno que suponga una actividad de ensayo y error, se considera como una pérdida de tiempo. Los conocimientos bien formulados son transmitidos por el maestro: no hay más que hacer sino tomarlos tal cual. La mente vacía de los alumnos sera así llenada, poco a poco por este aporte externo" (Méndez y Pereira, 1985).
Se pretende, con este tipo de metodología, que por medio de un aprendizaje verbal, de escritura en el pizarrón y de una manera receptiva, con muy poca actividad de parte del alumno él adquiera el dominio de la matemática. Entonces, este esquema de enseñanza de la matemática es primordialmcnte trasmisivo. ¿Qué se trasmite?: la teoría y luego se agrega un ejemplo que pretende establecer una relación con la realidad.
Este modelo pedagógico, está apoyado en enfoques psicológicos deterministas del individuo, ya sea, por razones hereditarias (innatisias) o por el medio ambiente en que este se desarrolla (ambientalistas). De acuerdo con esto, el aprendizaje del niño está condicionado por un coeficiente intelectual invariable o depende estrictamente de los métodos y estímulos a que el alumno sea expuesto.
Ninguno de estos puntos de vista, considera las elaboraciones mentales de los educandos. Son estos enfoques los que han privado en la enseñanza costarricense.
Así, en un análisis del programa de matemática del Primer Ciclo de la educación primaria en Costa Rica, vigente en 1983, en el que participamos las autoras, se hace notar que algunos de los contenidos del programa están propuestos en niveles de edad en que el alumno aún no posee la madurez mental para asimilarlos. También, se advierte un paso muy brusco de la representación concreta de los contenidos a un plano representativo, lo que no corresponde con las características cognoscitivas de la etapa de operaciones concretas en que se encuentran los estudiantes de ese ciclo.
Además, en este programa se nota un énfasis mucho mayor en el aprendizaje de símbolos, representaciones gráficas, en la memorización de reglas y definiciones, que en el estímulo a las acciones mentales que llevan al alumno a la abstracción reflexiva, que es la base de la construcción lógico-matemática según Piaget.
De todos es conocido, que este tipo de enseñanza es causa de grandes conflictos y fracasos en la enseñanza de la matemática, ya que la mayoría de los alumnos no pueden seguir el razonamiento adulto y el profesor a su vez, se siente impotente para motivar a sus educandos a aprender matemáticas.ç
En contraposición a la metodología tradicional, que se basa en la transmisión de los contenidos establecidos en los programas, se encuentra la posición metodologicista, en la cual se insiste en la importancia del método, sobrevalorando la actividad del alumno como proceso de experiencia. Estas dos posiones han dado lugar al llamado "conflicto pedagógico".
Actualmente, el movimiento educativo se inclina más por una concepción interdependiente entre contenidos y métodos, tomando en cuenta tanto a los objetivos propuestos, como al educando que va a adquirir los conocimientos. Esto es, en las nuevas metodologías, tal como lo expresa muy bien Gutiérrez (1988), "las estrategias metodológicas están muy relacionadas con lo que se desea enseñar, pero el cómo se enseña es tan importante como el contenido mismo."
Las nuevas pedagogías científicas, basadas en la existencia de una evolución cognoscitiva de los escolares, asignan un rol muy activo al alumno para lograr una verdadera construcción del conocimiento.
Entre los avances más significativos en el campo de las ciencias sociales están los descubrimientos relativos a la manera cómo se desarrolla la inteligencia en el niño y en el adolescente, originados en los trabajos de Jean Piaget, Barbel Inhclder y sus colaboradores y que en la actualidad se están aplicando al campo de la educación con magníficos resultados.
De acuerdo al modelo sobre el funcionamiento cognoscitivo de Piaget, el sujeto es el constructor de sus conocimientos, de su saber. En esta constmeción se produce una constante interacción entre el sujeto y el medio que lo rodea, de lo cual se deriva la importancia de la inlluencia positiva o negativa de la familia y de la escuela en el desarrollo mental del niño.
Al respecto. Sastre (1976). una de las creadoras de la Pedagogía Operatoria, que se basa en el constmetivismo piagetiano nos dice:
"La construcción de la inteligencia es pues un proceso, a través del cual el individuo interpreta la realidad que le rodea, realidad que desempeña una doble función en cuanto que constituye el factor estimulante de la acción del sujeto y a la vez regula las asimilaciones deformantes que éste le impone, obligándole a modificarse y a elaborar nuevas interpretaciones que se adecúen más a las leyes que rigen dicha realidad."
Por otra parte, afirman Sellares y Basedas (1983), que como lodo conocimiento supone un proceso de constmeción mental, producto de la interacción de las ideas elaboradas espontáneamente por el niño sobre una noción y lo que se le ha enseñado acera: de ella, al enseñar se debe tomar en cuenta este proceso y analizar no sólo el grado de dificultad de los contenidos que se deseen transmitir, sino también las posibilidades intelectuales de los alumnos para adquirir esos contenidos.
Por eso, bajo este marco teórico, en la Pedagogía Operatoria el papel del maestro es el de "respetar los intereses del grupo, proponer las situaciones más adecuadas para que mediante la búsqueda de soluciones, la discusión y la contrastación de las mismas, cometiendo errores y superándolos, inventando y creando, se pueda dar esta construcción." (Gómez Granell, 1983)
Experiencias positivas realizíidas empleando este tipo de aprendizaje operatorio en la enseñanza de la matemática de primer año. escolar, fueron realizadas por una de las autoras. (Méndez y Pereira, 1985)
Según el enfoque constructivista de la enseñanza y tomando en cuenta nuestra propia experiencia como educadoras e investigadoras en educación, consideramos que la enseñanza de la matemática, sobre todo en el nivel elemental, debe partir de experiencias concretas, particularmente, de las situaciones problemáticas que se le presentan a los niños en su vida diaria.
A partir de sus vivencias, el niño, guiado por sus maestros, puede construir muchos conceptos abstractos que manejan las matemáticas y una vez logrado este objetivo, aplicarlos para resolver problemas referidos a otros contextos, progresivamente más alejados de la experiencia cotidiana del niño.
Muchas experiencias realizadas bajo un marco teórico constructivista, han dado como resultado el poder afirmar que la enseñanza de la matemática fundamentada en solución de problemas, no solo.favorece el desarrollo del razonamiento del niño, sino que, a la vez, proporciona una buena motivación para el aprendizaje de los conceptos básicos de esta asignatura.
Se puede comprobar que resolviendo problemas el niño llega a comprender lo útil que le pueden ser las operaciones matemáticas básicas en su vida diaria. Las operaciones dejan de ser para los alumnos conceptos abstractos sin ninguna aplicación y adquieren un significado concreto y útil.
Así por ejemplo, los estudiantes de primaria al resolver problemas, se dan cuenta que la operación de sumar puede representar acciones tan variadas como ganar, aumentar, entrar, agregar, juntar, unir, etc., y que la resta puede representar acciones como perder, disminuir, salir, separar, etc., que es al fin y al cabo, la manera en que el niño aplica estos conceptos matemáticos en su vida cotidiana, aún antes de entrar a la escuela primaria.
Vergnaud (1981), investigador francés de la didáctica de la matemática, dice que el proceso que se realiza al resolver un problema y que consiste en analizar una situación, representarla, operar sobre esta representación para encontrar la solución, aplicar la solución encontrada, volver a empezar si es el caso, es el proceso que se sigue fundamentalmente en la vida y no sólo en la escuela.
Si por otra parte, aceptamos que el objetivo final de la enseñanza de la matemática es el capacitar al estudiante para que pueda resolver problemas, tal como fue defendido por las autoras en el artículo sobre el mejoramiento de enseñanza de la matemática, ya mencionado, debemos preguntamos:
¿Cuál es la manera más conveniente de fundamentar la enseñanza de la matemática principalmente en la solución de problemas?
¿Cómo podemos desarrollar las habilidades, capacidades y las actitudes en los alumnos para resolver problemas? Una respuesta obvia a la segunda pregunta será, por supuesto, como lo afirma Avila (1989), que esto se logrará resolviendo problemas. l'cro, por supuesto que deben ser problemas que reúnan ciertas características, como las que comentaremos más adelante.
Sin embargo, una respuesta más amplia a estas preguntas es un poco más difícil, ya que son muchos los factores que deben ser tomados en cuenta para que la práctica de solución de problemas sirva para lograr los objetivos metodológicos propuestos.
Las respuestas a estas preguntas, que comentaremos en este trabajo, se fundamentan en muchas investigaciones inspiradas en la epistemología genética de .lean Piaget y la Escuela de Ginebra, como las realizadas por las creadoras de la Pedagogía Operatoria, Sastre y Moreno (1980), Gómez Granel (198 ), como las de Kamii (1982), Vergnaud (1981), las de Wheatley (1990), Avila (1989), Lemoyne y Conne (1989), Hlock, Martínez y Avila (1989), Oviedo y Méndez (1990) y las de muchos otros autores.
Según los seguidores de metodologías basadas en el construccionismo, como Gómez Granel (1983), "el niño debe construir sobre datos reales los contenidos matemáticos y esto exigirá por nuestra parte conocer detalladamente cuáles son los procedimientos espontáneos que el niño desarrolla cuando debe resolver por sí mismo las situaciones problemáticas que la adquisición de dichos contenidos plantea."
En otras palabras, de acuerdo a la idea expresada por Gómez Granell, si se quiere implementar en forma adecuada una metodología basada en la solución de problemas, es necesario conocer cómo los niños resuelven los diferentes tipos de problemas. De esta forma se pueden valorar tanto las características como el grado de dificultad de los contenidos que se desea el niño elabore.
Desde una perspectiva constructivista, realizamos un estudio sobre procedimientos de solución en problemas multiplicativos, en conjunto con investigadores colombianos y la doctora española Gómez Granell, trabajo que nos ha permitido obtener conclusiones que deben ser tomadas en cuenta por el educador en las lecciones sobre solución de problemas.(Oviedo y Méndez, 1991):
1- Se observa una jerarquía genética en los procedimientos de solución. Es decir, se observa una génesis, desarrollo o construcción de los diferentes procedimientos de solución. Por ejemplo, al resolver un problema como el siguiente: Un confite vale 3 pesos, ¿cuánto valen 7 confites?, se observa que los niños más pequeños de la muestra, emplean procedimientos "más elementales": el niño sólo obtiene y conserva un dato (el precio de un confite) y luego emplea enumeración para obtener la solución del problema (el precio de varios confites). Los niños mayorcitos, emplean procedimientos "más complejos", como por ejemplo: el niño sí puede obtener y conservar los dos datos del problema (el precio y el número de confites) y luego emplea operaciones aditivas o multiplicativas para obtener el resultado del problema.
2- Una variación en el contexto puede hacer variar el procedimiento empleado por los niños para resolver el problema.
En otras palabras, ante un mismo tipo de problema, una variación en el contexto, que puede consistir en una variación del contenido del problema o en mantener el mismo contenido y usar diferentes valores numéricos, puede provocar en los niños procedimientos de solución diferentes.
Por ejemplo, en la investigación se observa que algunos niños, al emplear valores numéricos más grandes, vuelve a usar procedimientos de solución más elementales que ya habían superado en la solución de problemas con valores numéricos más pequeños. Consideramos que la primera conclusión tiene las siguientes implicaciones pedagógicas:
El maestro o profesor debe conocer esta génesis, para no exigir, al resolver un determinado problema, el mismo tipo de solución a todos los niños. Es decir, no se debe esperar que niños de diferentes edades o niveles escolares, resuelvan de la misma manera un determinado problema.
Además, conociendo esta génesis o construcción del procedimiento, el maestro debe anticipar que un mismo niño va a pasar desde las etapas "más elementales", a las etapas "más complejas" de solución y por lo tanto, no debe presionarlo para que desde un principio vaya a emplear procedimientos muy elaborados.
Así mismo, el educador debe anticipar que en un mismo grupo puede haber alumnos con diferentes estructuras o niveles mentales, lo que va a condicionar otras tantas formas de solución ante un mismo problema. Sin embargo, como se comprueba en la experiencia, al resolver un problema, existe una manera más usual de proceder a una determinada edad, aspecto que debe ser tomado muy en cuenta por el maestro para ayudar a los alumnos que presenten un ritmo más lento de aprendizaje.
Las implicaciones pedagógicas que se pueden derivar de la segunda conclusión son las siguientes:
El maestro o profesor debe estar consciente del hecho de que al variar el contexto a un determinado tipo de problema, el alumno puede presentar un aparente retroceso en su búsqueda de solución. Esto no significa que el alumno haya olvidado el procedimiento que empleó en un contexto más simple, sino que se ve obligado a reconstruirlos al enfrentarse a contextos más complejos.
El maestro o profesor no debe indicar el procedimiento que el alumno debe usar para resolver los problemas propuestos, ya que dependiendo de su nivel de razonamiento y del contexto de los problemas, el niño empleará uno u otro método para resolverlos. La labor del educador debe consistir en favorecer la expresión espontánea del procedimiento natural del alumno.
Como síntesis final de nuestro estudio, se puede decir que la existencia de variados procedimientos para resolver un mismo problema, alerta al educador sobre el daño que puede producir en los alumnos un tipo de lección que consista en una repetición mecánica de procedimientos para resolver problemas. No todos los niños siguen la misma receta de pasos preestablecidos por el maestro o profesor para buscar una solución a un determinado problema y por lo tanto querer encasillarlos en algo estereotipado es contrario a su evolución espontánea y creativa.
Una metodología constructivista déla enseñanza de la matemática basada fundamentalmente en la solución de problemas, debe tomar en cuenta dos aspectos importantes:
El primero, es el relativo a la naturaleza de los problemas, esto es, qué tipo de problemas proponer a los alumnos de los diferentes niveles escolares y el segundo, es el relativo a la manera en que se debe conducir una clase o lección de solución de problemas.
Con respecto al primer aspecto, esto es, la naturaleza de los problemas, se puede decir, que estos deben reunir ciertas características:
1- los problemas propuestos a los niños deben implicarles un cierto reto, un cierto conflicto, en otras palabras, deben constituir una ver
dadera situación problemática;
dadera situación problemática;
2- deben conllevar una cierta finalidad, esto es, que su solución signifique una manera de conocer mejor su medio ambiente, o de
explicar las cosas que suceden a su alrededor;
explicar las cosas que suceden a su alrededor;
3- los problemas propuestos, a los alumnos de primaria, tomando en cuenta las característica concretas de su pensamiento, deben referirse a situaciones concretas de la vida cotidiana. En el caso de la escuela secundaria, los problemas deben referirse a situaciones interesantes para el adolescente, que respondan a sus intereses e inquietudes;
4- los problemas de un mismo tipo, deben referirse a una amplia gama de contextos. De este modo el niño se verá enfrentado a situaciones que lo retan en su capacidad reflexiva y creativa;
5- los problemas presentados en una lección no deben responder a un mismo esquema de razonamiento. Por ejemplo, en la escuela
primaria, al resolver problemas aditivos, no limitarse al tipo de problema que obedece al siguiente esquema: teniendo una cantidad inicial agregar o quitar otra y preguntar cuánto da el resultado. Esta práctica tiene el inconveniente de provocar en los alumnos respues tas mecánicas, más o menos estereotipadas para las que no hay que razonar mucho y con lo cual se pierde el objetivo tan importante del significado que todo ejercicio mental debe plantear al niño.
primaria, al resolver problemas aditivos, no limitarse al tipo de problema que obedece al siguiente esquema: teniendo una cantidad inicial agregar o quitar otra y preguntar cuánto da el resultado. Esta práctica tiene el inconveniente de provocar en los alumnos respues tas mecánicas, más o menos estereotipadas para las que no hay que razonar mucho y con lo cual se pierde el objetivo tan importante del significado que todo ejercicio mental debe plantear al niño.
En cuanto al segundo aspecto a considerar, el relativo a la manera de conducir una lección de solución de problemas, es muy importante que el educador tome en cuenta los aspectos que ya hemos señalado como consecuencias pedagógicas de la investigación realizada por las autoras (Oviedo y Méndez, 1991), como son: al presentar un problema se debe estimular al niño o adolescente a hacer sus propios planteamientos, a descubrir las hipótesis en que se basará su procedimiento o manera de resolver el problema. Con esta actitud, el educador respeta la psicogénesis y espontaneidad que debe caracterizar toda situación educativa.
Además, los niños y adolescentes necesitan experiencias sobre las cuales ellos puedan reflexionar y por ello la práctica de procedimientos mostrados por el profesor o maestro no proporciona esta oportunidad.
Como una alternativa de conducción de una lección de solución de problemas, el pedagogo norteamericano Wheatley (1990), recomienda poner a trabajar a los alumnos en grupos de cuatro o cinco, donde cada grupo discute un mismo problema. Así, las preguntas surgen naturalmente de los miembros de cada grupo y no es el maestro el que artificialmente las inventa.
Una vez que los grupos finalizan la solución de los problemas propuestos, los grupos presentan a todos los alumnos de la clase los resultados obtenidos. Afirma este autor que cuando los educandos llevan a cabo esta labor, están ansiosos de retar y extender las afirmaciones hechas por los demás estudiantes. Su interés primordial es mostrar qué meta han alcanzado y no quedar bien con el profesor.
En consonancia con lo dicho, Wheatley señala que el clima que debe prevalecer en una lección donde se discute un determinado concepto o tema, debe de ser tal que los alumnos perciban las preguntas que el profesor les hace, como una acción para facilitar el aprendizaje y no para evaluar cuánto ellos saben en ese momento.
Este método, dice el autor, es diferente al llamado "enseñando descubriendo" donde usualmente el maestro se para frente a la clase ordenada en hileras de alumnos y propone un problema y luego comienza a hacer preguntas que conduzcan a los alumnos a encontrar la solución.
La desventaja del método "enseñando descubriendo", es que con su actitud el profesor está actuando como un filtro: selecciona respuestas, rechaza otras y elabora la solución del problema propuesto sólo sobre las respuestas de ciertos estudiantes. Los estudiantes, entonces, rápidamente dirigen su atención a preguntarse qué es lo que su profesor desea que contesten y no en pensar cuáles relaciones matemáticas pueden ellos establecer. Ellos saben que el instructor tienen una fórmula o relación en mente y también el método de solución. Entonces, la labor de los estudiantes se limita a adivinar que es lo que el profesor está pensando.
En contraste al "enseñando descubriendo", el tipo de discurso que Wheatley (1990) propone, consiste fundamentalmente en que los estudiantes compartan sus métodos de solución, sus conjeturas y sus puntos de vista. Para ello el profesor debe ayudar y orientar la discusión en los grupos, usando en cada discusión las ideas que a los alumnos de cada grupo se les ha ocurrido. De esta discusión grupal surgen las correcciones espontáneas si los alumnos han seguido un razonamiento equivocado.
La clase debe transformarse en un forum donde los alumnos construyen las explicaciones para su propio razonamiento. Explicando a sus compañeros cómo ellos piensan acerca de un problema, los estudiantes elaboran y refinan sus propio pensamiento y profundizan su entendimiento. Así, la discusión en clase facilita el aprendizaje y promociona la autoevaluación. Cuando una persona joven o adulta se ve en la situación de poner sus pensamientos en palabras, está estimulada para su análisis y organización. Por ello la importancia de la discusión colectiva.
Cummings (1971), otro investigador en enseñanza, afirma que, la discusión es valiosa porque nos pone a escuchar y comunicar nuestras ideas. Escuchando, tratando de ver las cosas desde otros puntos de vista, es que las personas alcanzan su la comprensión o entendimiento.
En las pedagogías constructivistas el educador es esencialmente un facilitador del aprendizaje. Esto no disminuye su importancia; por el contrario, se requiere una actitud más reflexiva de su parte para estructurar un medio ambiente rico en oportunidades de aprendizaje, negociar metas y normas sociales, así como diseñar las tareas apropiadas.
Es interesante analizar las recomendaciones que nos aportan los investigadores mexicanos Block, Martínez y Dávila (1990) con respecto a la manera de conducir una lección de solución de problemas y al tipo de problemas que se les puede proponer a los alumnos.
Estos autores recomiendan establecer ciertos supuestos a la hora de manejar una lección de solución de problemas y además recomiendan ciertas medidas para apoyar a los niños en la resolución de problemas.
Los supuestos que ellos manejan son los siguientes:
1- Para resolver un problema no es necesario recibir previamente información acerca de cómo se resuelve. Es decir, según estos autores, los alumnos siempre tienen recursos adquiridos en su experiencia previa para abordar un problema significativo para ellos.
2- El proceso de resolver un problema incluye ensayar un procedimiento, rectificar errores, adaptar creativamente recursos conocidos. Si el maestro indica previamente cómo se resuelve el problema, impide la realización de este proceso.
3- Un problema puede ser resuelto con distintos procedimientos y no
con uno solo.
con uno solo.
4- Un problema puede implicar la puesta en juego de varios conoci
mientos matemáticos y no de uno solo."
mientos matemáticos y no de uno solo."
Las medidas que recomiendan para apoyar a los niños en la resolución de problemas son las siguientes:
a) No dar indicaciones previas y plantear problemas con frecuencia.
Según los autores, esta medida incluye el no enseñar previamente a resolver el problema, a que el maestro no resuelva antes un problema modelo. También incluye el no guiar en la resolución, no dar orientaciones sobre la operación que se puede utilizar y procurar no usar siempre palabras "clave" en la redacción de los problemas.
En cuanto a la medida de plantear problemas con frecuencia, está basada en el supuesto de que intentando resolver problemas, es que se aprende a resolver problemas.
b) Comentar el enunciado del problema antes de la resolución de éste.
Este comentario es necesario para asegurarse de que los alumnos comprendan lo que plantea el problema, los términos utilizados, las relaciones que se establecen entre los datos, que es lo que se busca.
c) Pedir a los alumnos un resultado aproximado, esto es, una estimación, antes de que inicien la búsqueda del resultado exacto.
Se desea conseguir con esta estimación, que los alumnos reflexionen sobre la relación entre los datos, antes de que centren su atención en los cálculos que deben hacer para obtener el resultado. Además, afirman Hlock y compañeros, "la estimación favorece la ejercitación de un tipo especial de cálculo mental, con frecuencia requerido en la vida cotidiana."
d) Organizar la confrontación colectiva.
Después de que la mayoría de los alumnos ha resuelto el problema, es necesario una confrontación colectiva con los siguientes fines:
Al conocer las diferentes maneras de resolver un problema los mismos alumnos pueden decidir si hay una solución más simple, mejor que todas las demás. De esta manera los alumnos van aprendiendo a socializar sus conocimientos.
Además, la participación de los alumnos en la decisión de cuáles procedimientos son correctos y cuáles no, involucra a los alumnos en un análisis de los errores y los conduce indirectamente a la demostración de los procedimientos correctos.
En otras palabras, esta discusión favorece el que los alumnos aprendan a expresar sus ideas y a realizar demostraciones que apoyen sus puntos de vista.
En cuanto a las características de los problemas que se deben plantear a los alumnos, los autores recomiendan lo siguiente:
a) Plantear problemas en los cuales los contextos sean bien variados:problemas de la vida cotidiana, ficticios, matemáticos, juegos, etc.
b) Variar la forma de presentación: a través de un texto, oralmente, con material gráfico, con material concreto, etc.
c) Plantear problemas sin preguntas, donde se busca que los alumnos las formulen. Plantear problemas con exceso de datos o en los cuales hacen falta datos. Problemas que admiten una o varias respuestas. Problemas en los que las respuestas pueden no ser numéricas.
CONCLUSIONES
Del análisis hecho sobre las directrices que recomiendan pedagogos de diferentes latitudes con relación a un enfoque constructivista de la enseñanza de la matemática, en particular lo relativo a la solución de problemas, hemos encontrado aspectos de las metodologías comunes a todos ellos. Algunas semejanzas son:
En cuanto a la naturaleza de los problemas, hay consenso en que las características sean las propuestas en la sección V de este trabajo, estas son que constituyan un reto para el alumno, que tengan una cierta finalidad, que sean concretos (sobre todo a nivel de escuela primaria), que se refieran a diferentes contextos y que respondan a diferentes esquemas de razonamiento.
En cuanto a la manera de conducir una lección de solución de problemas, las semejanzas son principalmente tres:
- Estimular al alumno a hacer sus propios planteamientos, a descubrir las hipótesis en que basará su procedimiento. El profesor no debe indicar la manera de resolver los problemas.
- Discutir las soluciones a un mismo problema encontradas por cada uno de los alumnos o por grupos de ellos. Con esta confrontación de ideas se busca elaborar y refinar el razonamiento de los educandos. Esta discusión facilita el aprendizaje y la autoevaluación de los individuos.
- Variar el rol del educador a ser un facilitador del aprendizaje, proveyendo un medio ambiente muy rico intelectualmente en el cual los individuos puedan construir sus propias ideas. Esto incluye: a) entender el razonamiento del estudiante en problemas centrados en el medio ambiente, b) analizar el contenido de las principales ideas y relaciones que los alumnos deben establecer y c) escoger problemas que estimulen al estudiante a hacer importantes construcciones.
De todo lo reseñado anteriormente, también se puede concluir lo siguiente:
Una metodología basada en la solución de problemas parece ser una respuesta positiva al fracaso, en general, de las metodogías tradicionales de enseñanza de la matemática.
La implementación de esta metodología es bástanle ardua, pues antes deben vencerse algunos obstáculos, como son:
a) Restructurar los objetivos y contenidos de los programas de matemáticas en los diferentes niveles de la enseñanza.
b) Diseñar y coleccionar problemas que reúnan las características requeridas que empleen los maestros en los diferentes niveles escolares y para los diferentes conceptos matemáticos del programa.
c) Realizar una labor de convencimiento entre maestros y profesores y autoridades educativas de que estas ideas facilitan el aprendizaje de las matemáticas y entonces lleven a la práctica este tipo de metodología. Esto implicaría cambiar la manera tradicional de impartir las lecciones de matemáticas.
d) Capacitar a maestros y profesores en esta nueva metodología de enseñanza.
Como puede apreciarse, la labor a realizar para poner en práctica estas nuevas ideas metodológiais es mucha y requiere del concurso de todos los investigadores en enseñanza de la matemática, de autoridades educativas, pero sobre todo de los maestros y profesores que piensen esi que estas ideas son buenas y que pueden llegar a fructificar en una mejor enseñanza de la matemática.
Todos y cada uno de estos maestros y profesores, pueden contribuir, dada su valiosa experiencia, en el diseño de problemas y en la im-plementación de esta nueva metodología. Creemos que ésta traerá grandes beneficios en el mejoramiento del aprendizaje de la matemática por pane de nuestros alumnos y por ende en el progreso y desarrollo de nuestro país.
NOTAS
[1] Programa de Investigaciones Meta-Matemáticas. Escuela de Matemática-IIMEC. Universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica.
[2] Escuela de Matemática-IIMEC. Universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica.
[2] Escuela de Matemática-IIMEC. Universidad de Costa Rica. San José, Costa Rica.
BIBLIOGRAFÍA
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