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lunes, 7 de enero de 2013

Aproximación frecuencial a la probabilidad

Autoras/es: Juan García Moreno (*)
(Fecha original del artículo: Febrero 2012)


En la última década del siglo XX se asiste a una propuesta de cambio curricular en la enseñanza de la probabilidad en todos los niveles educativos. En los diseños curriculares, no sólo en España, sino en otros países, se sugiere iniciar esta enseñanza a una edad más temprana e introducir la probabilidad en su acepción frecuencial. La metodología recomendada está basada en la experimentación y simulación de experimentos aleatorios. Así, por ejemplo, en los estándares del NCTM se indica que los estudiantes deben explorar mediante situaciones y de forma activa, los modelos de probabilidad.

A través de la experimentación y la simulación, los estudiantes deben formular hipótesis, comprobar conjeturas y depurar sus teorías sobre la base de la nueva información. Se supone que esta metodología ayudará a superar las dificultades y obstáculos que, sobre el desarrollo de la intuición del azar han descrito distintos autores, como Fischbein y Gazit (1984).


Diversos autores españoles, de reconocido prestigio en el campo de la Didáctica de las Matemáticas (“Azar y Probabilidad”. Juan Díaz Godino, María del Carmen Batanero Bernabéu, María Jesús Cañizares Castellanos.) , recomiendan abordar los temas de Azar y Probabilidad desde edades tempranas. Normalmente se toman como referentes los trabajos de Fischbein (1975) y Piaget (1975) basados en juegos de azar, dado que favorecen su adquisición de la manera más natural: la intuitiva. Estos trabajos experimentales arrojan resultados exitosos en la aplicación de juegos de azar para la enseñanza de probabilidad, dado su carácter intuitivo, facilitando pasar de las intuiciones primarias sobre el azar (las que se forman antes e independientemente de una enseñanza sistemática) a las intuiciones secundarias (que se forman después de un proceso sistemático de enseñanza).
En Educación Primaria se trata fundamentalmente de desarrollar una “intuición probabilística” lo más ajustada posible. Los métodos de asignación probabilística serán, fundamentalmente, la estadística de la ocurrencia de los sucesos a estudio y el contraste antes y después de la experimentación. Todos los niños tienen, en mayor o menor medida, una opinión a priori desde edades muy tempranas, y en todas las culturas, de lo posible aunque indeterminado (intuición del azar). El objetivo global en esta etapa se centra en ajustar estos dos modos de asignación probabilística.


Un extraordinario recurso multimedia que permite llevar a cabo esta metodología es "Laboratorio básico de Azar, Probabilidad y Combinatoria". No en vano mereció el Primer Premio a Materiales Educativos del ITE_2010. Está formado por más de 50 aplicaciones que requieren muy pocos conocimientos previos y pueden ser propuestas en Primaria, Secundaria e incluso Bachillerato.
Este recurso multimedia pone de manifiesto, entre otros, los siguientes aspectos:
  • El enorme potencial de Flash, junto con la programación en ActionScript, para la creación de entornos de simulación y experimentación.
  • Que la Matemática puede ser experimental, o al menos experimentada por los/as alumnos/as.
  • Que determinados problemas pueden resolverse de manera empírica antes de hacerlo teóricamente. Esto es lo que ocurrió, históricamente, con los problemas de Probabilidad.
Para facilitar un uso más versátil de este macro_recurso, lo he desagregado en microaplicaciones u ODES a las que se puede acceder desde la página de este blog titulada "Manipulables_Virtuales_Matemáticas_III".

He aquí, a modo de ejemplo, algunas de ellas para Primaria:

Completa aplicación que presenta siete situaciones experimentales diferentes ( "fichas bicolores", "casilleros numéricos", "elige una carta", "piensa un número", "¿En qué mano está la moneda?", "¿qué ostra tiene la perla"?,...)  que ayudarán a los/as alumnos/as a distinguir las situaciones deterministas de las situaciones de azar, lo seguro de lo imposible, lo muy probable de lo poco probable...PDI: sí.

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Ilustración gráfica y experimental de la convergencia de las frecuencias relativas de sucesos equiprobables. Ley del Azar, o de los grandes números. PDI: sí.
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Náufrago. Experimento aleatorio.
Un náufrago puede ser  rescatado o atrapado por un tiburón dependiendo del  itinerario que siga. El avance del náufrago de un nodo a otro del circuito depende del resultado obtenido al lanzar una moneda... Tres circuitos diferentes...PDI: sí.
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Lanzamiento de una o dos monedas. Experimento aleatorio.
La/s moneda/s puede ser lanzada tantas veces como se desee.
Sucesos posibles. Espacio muestral. Frecuencias absolutas. PDI: sí.
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Lanzamiento de tres monedas. Experimento aleatorio.
Sucesos posibles. Espacio muestral. Frecuencias absolutas de sucesos.PDI: sí.
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Lanzamiento de un dado cúbico. Experimento aleatorio.
1ª escena: Si lanzamos un dado cúbico, como en el juego de la oca, por ejemplo, ¿qué puede ocurrir o suceder?
La respuesta es muy fácil y seguro que la sabes. Un dado cúbico puede descansar sobre una cualquiera de sus 6 caras; habrá, por tanto, 6 SUCESOS posibles: obtener 1, obtener 2, 3, 4, 5 ó 6.
2ª escena: Se puede introducir el número de lanzamientos (menor que 10000), configurar la velocidad de los lanzamientos, visualizar las frecuencias relativas y absolutas de cada suceso ( tanto numérica como gráficamente), obtener copia de los sucesos...PDI.: sí.
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Lanzamiento de dos dados cúbicos y estudio de múltiples sucesos aleatorios asociados al experimento.
Comprueba que al lanzar 2 dados hay 6x6=36 SUCESOS ELEMENTALES posibles.
Para cada resultado del primer dado, éste se puede combinar multiplicativamente con 6 resultados posibles del segundo dado...
¿Cuántos sucesos elementales son favorables a obtener suma 7?
¿Y a obtener suma 10?...PDI.: sí.
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Aproximación frecuencial y empírica a la probabilidad de 15 sucesos asociados al experimento aleatorio. Sucesos elementales y sucesos compuestos. Espacios muestrales. Casos posibles y casos favorables, etc...PDI:sí.
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Un buen complemento teórico de lo aquí expuesto puede ser este artículo ( en formato .pdf) de Carmen Batanero: RAZONAMIENTO PROBABILÍSTICO EN LA VIDA COTIDIANA: UN DESAFÍO EDUCATIVO.

(*) DIDACTMATIC PRIMARIA. Por una integración de las TICs en Matemáticas fundamentada didáctica y metodológicamente. Análisis y valoración del interés didáctico y metodológico de contenidos educativos multimedia para el área de Matemáticas en la Etapa Primaria. (Didáctica aplicada de la matemática "a pie de aula". INVESTIGACIÓN EN LA ACCIÓN. I+D )

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